Question

如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A、F，右準(zhǔn)線為l，N為l上一點(diǎn)，且在x軸上方，AN與橢圓交于點(diǎn)M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）設(shè)過A，F(xiàn)，N三點(diǎn)的圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求PQ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意及所給圖形，先把點(diǎn)A，F(xiàn)具體，再把點(diǎn)N設(shè)出，利用條件解出t，求出k_AM•k_M若為-1，即可證明；
（2）由題意先設(shè)出圓的方程，在利用圓過A，F(xiàn)，N三點(diǎn)，寫出圓的方程，由于圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，所以可以令圓的方程中x=0，寫出兩點(diǎn)坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)而求解．
解答：（1）證明：由已知，A（-3，0），F(xiàn)（2，0），設(shè)，
則在橢圓上，得；
∴，∴，，
∴k_AM•k_MF=-1，即AM⊥MF；
（2）解：設(shè)圓方程為x²+y²+dx+ey+f=0，將A，F(xiàn)，N三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，
∴圓方程為，令x=0，得：y²+ey-6=0，
設(shè)P（0，y₁），Q（0，y₂），∴，∴PQ的最小值為．
點(diǎn)評：（1）此問重點(diǎn)考查了利用方程的思想，還考查了利用兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)證明直線垂直；
（2）此問重點(diǎn)考查了利用方程的思想進(jìn)行求解，還考查了利用一元二次函數(shù)求解最值及兩點(diǎn)間的距離公式．