Question

【題目】數(shù)列中，，且對任意的成等比數(shù)列，其公比為.

（1）若，求；

（2）若對任意的成等差數(shù)列，其公差為.設(shè).

①求證:成等差數(shù)列并指出其公差；

②若，試求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析，；②或.

【解析】

試題分析：（1）公比為，故是首相為,公比為的等比數(shù)列，，利用前項(xiàng)和公式求得前項(xiàng)和為；（2）①根據(jù)等差中項(xiàng)，可有，利用取倒數(shù)的方法，配湊成等差數(shù)列，即，所以為等差數(shù)列；②由， 解得或，分成兩種情況，利用累乘法求得或.

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>,所以,故是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，所以 .

（2）①因?yàn)?/span>成等差數(shù)列, 所以,而,則, 得, 所以, 即, 所以是等差數(shù)列; 且公差為是等差數(shù)列，且公差為 .

②因?yàn)?/span>,所以，則由， 解得或.（i）當(dāng)時，, 所以,則,即,得, 所以,則,所以,則, 故 .（ii）當(dāng)時，,所以, 則, 即,得, ,則所以,則 ,從而，故綜上所述，或.