Question

19．設橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{1-{a}^{2}}$=1的焦點在x軸上．
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，直線F₂P交y軸于點Q，并且F₁P⊥F₁Q．證明：當a變化時，點P在定直線x+y=1上．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)即可得出${a^2}-（1-{a^2}）=\frac{1}{4}$，解出即可；
（2）設P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中$c=\sqrt{2{a^2}-1}$．利用斜率的計算公式和點斜式即可得出直線F₁P的斜率，直線F₂P的方程為斜率，利用 ${k_{{F_1}P}}•{k_{{F_1}Q}}=\frac{y_0}{{{x_0}+c}}•\frac{y_0}{{c-{x_0}}}=-1$，與橢圓的方程聯(lián)立，然后判斷點P在定直線x+y=1上．

解答 解：（1）依題意，${a^2}-（1-{a^2}）=\frac{1}{4}$，即${a^2}=\frac{5}{8}$，
所以橢圓E的方程為$\frac{{8{x^2}}}{5}+\frac{{8{y^2}}}{3}=1$．…（2分）
（2）設P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中$c=\sqrt{2{a^2}-1}$．
因為直線F₂P交y軸于點Q，所以x₀≠c，
故直線F₁P的斜率${k_{{F_1}P}}=\frac{y_0}{{{x_0}+c}}$，直線F₂P的斜率${k_{{F_2}P}}=\frac{y_0}{{{x_0}-c}}$，…（5分）
直線F₂P的方程為$y=\frac{y_0}{{{x_0}-c}}（x-c）$，Q點的坐標為$（0\;，\;\frac{{c{y_0}}}{{c-{x_0}}}）$．
所以直線F₁Q的斜率為${k_{{F_1}Q}}=\frac{y_0}{{c-{x_0}}}$，…（8分）
由于 F₁P⊥F₁Q，所以 ${k_{{F_1}P}}•{k_{{F_1}Q}}=\frac{y_0}{{{x_0}+c}}•\frac{y_0}{{c-{x_0}}}=-1$，
化簡得 ${y_0}^2={x_0}^2-（2{a^2}-1）$．…（10分）
因為 P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，將上式代入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{1-{a^2}}}=1$，
得${x_0}={a^2}$，${y_0}=1-{a^2}$，且x₀+y₀=1，
所以點P在定直線x+y=1上．…（12分）

點評 本題主要考查了橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)，直線和直線、直線和橢圓的位置關系等基礎知識和基本技能，考查了數(shù)形結合的思想、推理能力和計算能力，屬于難題．