【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè),當(dāng)對任意的恒成立時(shí),求函數(shù)的最大值的取值范圍.
【答案】(I)詳見解析;(II).
【解析】試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo)得.結(jié)合,可得在上遞減,在上遞增.
(Ⅱ)由對任意的恒成立 可得.又由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí), ,可得
對 求導(dǎo),研究其最值,并求其范圍即可
試題解析:
(Ⅰ).
因?yàn)?/span>,則時(shí)時(shí),
∴在上遞減,在上遞增.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若,則.
所以對任意的恒成立 , .
由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí), 在上遞減,在上遞增.
依題意,有,∴
.
∴.
設(shè),則,
∵,∴,∴在上遞增,
∵, .
因此,存在唯一,使得,
當(dāng)時(shí), , , 單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí), , , 單調(diào)遞減.
因此在處取得最大值,最大值為
,
設(shè),則,
∴在上遞減,∴,∴
∴時(shí)的最大值.
反之,任取,下證,
∵在上遞減,在上遞增,且時(shí),
∴任取,存在唯一的,使得.
∵,∴在上遞減,
∴時(shí), .
綜上,當(dāng)對任意的恒成立時(shí),函數(shù)最大值,最大值的取值范圍為.
注:后半部分的證明是為了說明當(dāng)在內(nèi)變化時(shí), 能取遍內(nèi)的所有值,從而的最大值能取遍內(nèi)所有的值,防止把的最大值的取值范圍變大.
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【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分別為棱AB、AD的中點(diǎn).
(1)求證:EF平行平面CB1D1;
(2)求證:平面CAA1C1⊥平面CB1D1
(3)求直線A1C與平面ABCD所成角的正切值.
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【題目】若如圖為某直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直)被削去一部分后的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖,則其正視圖的面積為 ,三棱錐D﹣BCE的體積為
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【題目】已知集合A=(2,4),B=(a,3a)
(1)若AB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若A∩B≠,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】酒后違法駕駛機(jī)動(dòng)車危害巨大,假設(shè)駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量為(簡稱血酒含量,單位是毫克/100毫升),當(dāng)時(shí),為酒后駕車;當(dāng)時(shí),為醉酒駕車.如圖為某市交管部分在一次夜間行動(dòng)中依法查出的名飲酒后違法駕駛機(jī)動(dòng)車者抽血檢測后所得頻率分布直方圖(其中人數(shù)包含).
(Ⅰ)求查獲的醉酒駕車的人數(shù);
(Ⅱ)從違法駕車的人中按酒后駕車和醉酒駕車?yán)梅謱映闃映槿?/span>人做樣本進(jìn)行研究,再從抽取的人中任取人,求人中含有醉酒駕車人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】 (本小題滿分12分)
如圖, 在四面體ABOC中, , 且.
(Ⅰ)設(shè)為為的中點(diǎn), 證明: 在上存在一點(diǎn),使,并計(jì)算;
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【題目】公元263年左右,我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí),多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”,如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖,則輸出的值為 ( )
(參考數(shù)據(jù): )
A. B. C. D.
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【題目】中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中,稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”,如圖(1)(2),劉徽未能求得牟合方蓋的體積,直言“欲陋形措意,懼失正理”,不得不說“敢不闕疑,以俟能言者”.約200年后,祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢既同,則積不容異”,后世稱為祖暅原理,即:兩等高立體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩立體體積相等.如圖(3)(4),祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的幾何體與長寬高皆為八分之一正方體的邊長的倒四棱錐“等冪等積”,計(jì)算出牟合方蓋的體積,據(jù)此可知,牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為( )
A. B. C. D.
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