Question

已知函數(shù)f（x）=x|x|+px+q（x∈R），給出下列四個命題：①f（x）為奇函數(shù)的充要條件是q=0；②f（x）的圖象關(guān)于點（0，q）對稱；③當p=0時，方程f（x）=0的解集一定非空；④方程f（x）=0的解的個數(shù)一定不超過兩個．
其中所有正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：①q=0時，可由奇函數(shù)的定義判斷正確，反過來也成立．②由①可知q=0時，f（x）圖象關(guān)于原點對稱，故f（x）=x|x|+px+q的圖象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|個單位，故關(guān)于（0，q）對稱正確；③當p=0時，函數(shù)f（x）=x|x|（x∈R）是增函數(shù)，方程f（x）=0的解集一定非空；④中取p=-1，q=0，即可判斷錯誤．

解答：解：①q=0時，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)，反之也成立，故①正確；
②由①可知q=0時，f（x）圖象關(guān)于原點對稱，f（x）=x|x|+px+q的圖象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|個單位，故關(guān)于（0，q）對稱正確；
對于③當p=0時，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，方程f（x）=0的解集一定非空，正確；
對于④取p=-1，q=0，則f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故④錯誤；
故答案為：①②③．

點評：本題考查含有絕對值的函數(shù)的奇偶性、對稱性和零點問題，綜合性強，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．