Question

【題目】如圖，已知四邊形和均為平行四邊形，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好為點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，且．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．　

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析: （Ⅰ）推導(dǎo)出平面，從而平面平面，從而，再求出，從而平面 ，由此能證明平面平面．（Ⅱ）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

試題解析:

（Ⅰ）∵點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好為點(diǎn)，∴平面，

又平面，∴平面平面．

又以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，∴為正方形．

又平面平面，∴平面．

∵平面，，

又，∴，

又的中點(diǎn)為，∴，

∵，∴，

又平面，平面，，∴平面．

又平面，∴平面平面．

（Ⅱ）如圖，建立以為原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，的方向?yàn)?/span>軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，．

∵的中點(diǎn)為，∴，

故，，

設(shè)平面的法向量為，則∴

令，則．

易知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)二面角為，

∴，

容易看出二面角為銳角，故二面角的余弦值為．