Question

9．在某校舉行的航天知識(shí)競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1：3，且成績分布在[40，100]，分?jǐn)?shù)在80以上（含80）的同學(xué)獲獎(jiǎng)．按文理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見圖）．
（1）求a的值，并計(jì)算所抽取樣本的平均值$\overline x$（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）填寫下面的2×2列聯(lián)表，能否有超過95%的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”？

	文科生	理科生	合計(jì)
獲獎(jiǎng)	5
不獲獎(jiǎng)
合計(jì)			200

附表及公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）利用頻率和為1，求a的值，利用同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，計(jì)算所抽取樣本的平均值$\overline x$；
（2）求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）a=[1-（0.01+0.015+0.03+0.015+0.005）×10]÷10=0.025，
$\overline{x}$=45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.3+85×0.15+95×0.05=69．…（4分）
（2）

	文科生	理科生	合計(jì)
獲獎(jiǎng)	5	35	40
不獲獎(jiǎng)	45	115	160
合計(jì)	50	150	200

…（8分）
k=$\frac{200（5×115-35×45）2}{50×150×40×160}$=$\frac{25}{6}$≈4.167＞3.841，
所以有超過95%的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．