Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別在x軸與直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+1}）$上從左向右依次取點(diǎn)A_k、B_k，k=1，2，…，其中A₁是坐標(biāo)原點(diǎn)，使△A_kB_kA_k+1都是等邊三角形，則△A₁₀B₁₀A₁₁的邊長(zhǎng)是512．

Answer 1

分析 設(shè)直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為P，由直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+1}）$的傾斜角為30⁰，又△A₁B₁A₂是等邊三角形$\sqrt{3}$，求出△A₂B₂A_3、…找出規(guī)律，就可以求出△A₁₀B₁₀A₁₁的邊長(zhǎng)．

解答 解：∵直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+1}）$的傾斜角為30⁰，且直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為P（-1，0），
又∵△A₁B₁A₂是等邊三角形，∴∠B₁A₁A₂=60⁰，B₁A₁=1，PA₂=2，
∴△A₂B₂A₃的邊長(zhǎng)為PA₂=2，同理 B₂A₂=PA₃=4，…以此類(lèi)推
B₁₀A₁₀=PA₁₀=512，∴△A₁₀B₁₀A₁₁的邊長(zhǎng)是512，
故答案為：512．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的傾斜角，等邊三角形的性質(zhì)，及歸納推理的能力，屬于基礎(chǔ)題．