Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）求的極值；

（3）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，求出曲線在點處的切線的斜率，再求出的值，寫出切線的點斜式方程，最后化為一般式；

（2）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，讓導(dǎo)函數(shù)為零，求出零點，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求出的極值；

（3）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點，即在區(qū)間上，有解，這就要求函數(shù)在上的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可，結(jié)合（2）進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，最后求出實數(shù)的取值范圍.

（1）因為，所以，所以有，

而，曲線在點處的切線方程為：

；

（2）函數(shù)的定義域為， ，

令，得，當(dāng)時，是增函數(shù)；

當(dāng)時，是減函數(shù)，所以函數(shù)在處取得極大值，即為，所以的極值為；

（3）①當(dāng)時，即時，由（2）可知：當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，即為，所以的最大值為，又當(dāng)時，函數(shù)的值為零，故當(dāng)

時，，當(dāng)時，，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點，等價于，解得；

②當(dāng)時，即時，由（2）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上的最大值為，原問題等價于，解得，而，所以無解，綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.