某海域有、兩個(gè)島嶼,島在島正東4海里處。經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn),某種魚群洄游的路線是曲線,曾有漁船在距島、島距離和為8海里處發(fā)現(xiàn)過魚群。以、所在直線為軸,的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。
(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(6分)
(2)某日,研究人員在、兩島同時(shí)用聲納探測儀發(fā)出不同頻率的探測信號(hào)(傳播速度相同),、兩島收到魚群在處反射信號(hào)的時(shí)間比為,問你能否確定處的位置(即點(diǎn)的坐標(biāo))?(8分)
(1) ;(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或。
解析試題分析:(1)由題意知曲線是以、為焦點(diǎn)且長軸長為8的橢圓 3分
又,則,故 5分
所以曲線的方程是 6分
(2)由于、兩島收到魚群發(fā)射信號(hào)的時(shí)間比為,
因此設(shè)此時(shí)距、兩島的距離分別比為 7分
即魚群分別距、兩島的距離為5海里和3海里。 8分
設(shè),,由 , 10分
, 12分
13分
點(diǎn)的坐標(biāo)為或 14分
考點(diǎn):本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓與圓的位置關(guān)系。
點(diǎn)評(píng):中檔題,利用橢圓的定義,明確曲線是橢圓并求得其標(biāo)準(zhǔn)方程為,作為實(shí)際問題解決,很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的妙用。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
雙曲線與雙曲線有共同的漸近線,且經(jīng)過點(diǎn),橢圓以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)且橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的最短距離為,求雙曲線和橢圓的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知、為橢圓的焦點(diǎn),且直線與橢圓相切.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)過的直線交橢圓于、兩點(diǎn),求△的面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題12分)直線l:y=kx+1與雙曲線C:的右支交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率, .
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn),且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)如圖,在平面直坐標(biāo)系中,已知橢圓,經(jīng)過點(diǎn),其中e為橢圓的離心率.且橢圓與直線 有且只有一個(gè)交點(diǎn)。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓相交與A,B兩點(diǎn),第一象限內(nèi)的點(diǎn)在橢圓上,直線平分線段,求:當(dāng)的面積取得最大值時(shí)直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓過點(diǎn),且離心率e=.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且線段的垂直平分線過定點(diǎn),求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)已知半徑為6的圓與軸相切,圓心在直線上且在第二象限,直線過點(diǎn).
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)若直線與圓相交于兩點(diǎn)且,求直線的方程.
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