(2001•江西)如圖,以正四棱錐V-ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB.E為VC中點(diǎn),正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a,高為h.
(Ⅰ)求cos<
BE
DE
;
(Ⅱ)記面BCV為α,面DCV為β,若∠BED是二面角α-VC-β的平面角,求∠BED.
分析:(I)確定向量的坐標(biāo),利用向量的夾角公式,即可求cos<
BE
,
DE

(Ⅱ)確定h=
2
a
,結(jié)合(I)的結(jié)論,即可求∠BED.
解答:解:(I)由題意知B(a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,-a,0),E(-
a
2
,
a
2
,
h
2
)
,
由此得
BE
=(-
3a
2
,-
a
2
,
h
2
),
DE
=(
a
2
,
3a
2
,
h
2
)
,
BE
DE
=(-
3a
2
a
2
)+(-
a
2
3a
2
)+
h
2
h
2
=-
3a2
2
+
h2
4
|
BE
|=|
DE
|=
(-
3a
2
)
2
+(-
a
2
)
2
+(
h
2
)
2
=
1
2
10a2+h2

由向量的數(shù)量積公式有cos<
BE
,
DE
>=
BE
DE
|
BE
|•|
DE
|
=
-
3a2
2
+
h2
4
1
2
10a2+h2
1
2
10a2+h2
=
-6a2+h2
10a2+h2

(II)若∠BED是二面角α-VC-β的平面角,則
BE
CV
,即有
BE
CV
=0.
又由C(-a,a,0),V(0,0,h),有
CV
=(a,-a,h)
BE
=(-
3a
2
,-
a
2
h
2
)
,
BE
CV
=-
3a2
2
+
a2
2
+
h2
2
=0
,即h=
2
a
,
這時(shí)有cos<
BE
,
DE
>=
-6a2+h2
10a2+h2
=
-6a2+(
2
a)
2
10a2+(
2
a)
2
=-
1
3

∠BED=<
BE
,
DE
>=arccos(-
1
3
)=π-arccos
1
3
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查空間直角坐標(biāo)的概念、空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及兩個(gè)向量夾角的計(jì)算方法,考查運(yùn)用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法.
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(2001•江西)如圖,以正四棱錐V-ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB.E為VC中點(diǎn),正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a,高為h.
(Ⅰ)求cos<
BE
,
DE
;
(Ⅱ)記面BCV為α,面DCV為β,若∠BED是二面角α-VC-β的平面角,求cos∠BED的值.

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(Ⅰ)建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程;
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