Question

【題目】數(shù)列{an}是公差d不為0的等差數(shù)列，a1=2，Sn為其前n項(xiàng)和．
（1）當(dāng)a3=6時(shí)，若a1 ， a3 ， ， …， 成等比數(shù)列（其中3＜n1＜n2＜…＜nk），求nk的表達(dá)式；
（2）是否存在合適的公差d，使得{an}的任意前3n項(xiàng)中，前n項(xiàng)的和與后n項(xiàng)的和的比值等于定常數(shù)？求出d，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：數(shù)列{an}的公差d= = =2．

∴an=2+2（n﹣1）=2n，

另一方面，a1，a3， ， …， 成等比數(shù)列（其中3＜n1＜n2＜…＜nk），

∴q= =3．

∴ ═a13k+2﹣1=2nk，

∴nk=3k+1．

（2）解：等差數(shù)列{an}中，Sn=na1+ = n2+ n，

S3n﹣S2n= ﹣ = n2+ ，

令S3n﹣S2n=λSn，則 n2+ =λ[ n2+ n]，

∴ ，解得 或 （舍去）．

∴d=4，滿(mǎn)足題意，且定 常數(shù)為5

【解析】（1）數(shù)列{an}的公差d= ，可得：an=2n．另一方面，a1 ， a3 ， ， …， 成等比數(shù)列（其中3＜n1＜n2＜…＜nk），可得q= ．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）等差數(shù)列{an}中，Sn= n2+ n，可得S3n﹣S2n ， 令S3n﹣S2n=λSn ， 解出即可得出．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．