Question

15．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-2|}，x≠2}\\{1，x=2}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列說法中錯(cuò)誤的是（　　）

• A． x₁²+x₂²+x₃²=14
• B． 1+a+b=0
• C． a²-4b=0
• D． x₁+x₃=0

Answer 1

分析 題中f²（x）+af（x）+b=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于f（x）等于某個(gè)常數(shù)有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，結(jié)合題意可知f（x）=1，由此可得選項(xiàng)A、B、C正確，D錯(cuò)誤．

解答 解：令t=f（x），由關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
可知方程t²+at+b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根t₁=t₂=1，
∴a²-4b=0，則1+a+b=0，
由$\frac{1}{|x-2|}=1$，得x=1或x=3，
∴x₁²+x₂²+x₃²=1²+2²+3²=14．
∴錯(cuò)誤的說法為x₁+x₃=0．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及函數(shù)的圖象與方程之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．