20.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)若$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$,求直線AB的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng),原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C,求四邊形OACB面積的最小值.

分析 (Ⅰ)由題意可知:設(shè)直線AB的方程為AB方程為y=k(x-1).,代入拋物線方程,由韋達(dá)定理、$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$,即可求得直線AB的斜率;
(Ⅱ)四邊形OACB面積SOACB=2SAOB=$\frac{1}{2}$丨OF丨•丨y1-y2丨,可得當(dāng)m=0時(shí),四邊形OACB的面積最小,最小值為4.

解答 解:(Ⅰ)∵$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$,∴直線AB的斜率一定存在,設(shè)為k,AB方程為y=k(x-1).
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k(x-1)\end{array}\right.$消y知:k2x2-(2k2+4)x+k2=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$,x1•x2=1
∵$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$,∴x1=5-4x2,
∴x1•x2=(5-4x2)•x2=1,∴x2=$\frac{1}{4}$或x2=1(舎)
∴x1=4,
∴x1+x2=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=$\frac{17}{4}$,∴k=±$\frac{4}{3}$.
∴直線AB的方程為y=$±\frac{4}{3}$(x-1);
(Ⅱ)∵點(diǎn)C與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,∴M為OC中點(diǎn)
∴點(diǎn)C與點(diǎn)O到直線AB的距離相等
∴四邊形OACB面積SOACB=2SAOB=$\frac{1}{2}$丨OF丨•丨y1-y2
設(shè)直線AB方程為:x=my+1
由直線與拋物線聯(lián)立,消x整理得:y2-4my-4=0,∴y1+y2=4m,y1y2=-4,∴${S_{四邊形OACB}}=\sqrt{{{({y_1}+{y_2})}^2}-4{y_1}{y_2}}=4\sqrt{{m^2}+1}≥4$
即當(dāng)m=0時(shí),四邊形OACB的面積最小為4.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)坐標(biāo),三角形面積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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