Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*）a、c∈R，c≠0
（1）求證：a≠1時(shí)，{a_n-1}是等比數(shù)列，并求{a_n}通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)a=

1

2

，c=

1

2

，b_n=n（1-a_n）（n∈N^*）求：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和S_n．
（3）設(shè)a=

3

4

、c=-

1

4

、cn=

3+an

2-an

．記d_n=c_2n-c_2n-1，數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n．證明：Tn＜

5

3

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）a_n+1=ca_n+1-c，可得a_n+1-1=c（a_n-1），從而可得a≠1時(shí)，{a_n-1}是等比數(shù)列，即可求{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列的和；
（3）確定數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)．利用放縮法求和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵a_n+1=ca_n+1-c，∴a_n+1-1=c（a_n-1）
∴a≠1時(shí)，{a_n-1}等比數(shù)列．
∵a₁-1=a-1，∴an-1=(a-1)cn-1，∴an=(a-1)cn-1+1
（2）解：由（1）可得an=-

1

2

(

1

2

)n-1+1=-(

1

2

)n+1
∴bn=n•(

1

2

)n
∴S_n=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n
∴

1

2

S_n=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1
兩式相減可得

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-

n+2

2n+1

∴Sn=2-

n+2

2n

（3）證明：Cn=4+

5

(-4)n-1

，
dn=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

=

25×16n

(16n)2+3×16n-4

＜

25×16n

(16n)2

＜

25

16n

∴Tn=d1+d2+…+dn＜25(

1

16

+

1

162

+

1

163

+…+

1

16n

)=

25× 1 16 (1-( 1 16 )n)

1- 1 16

=

5

3

(1-

1

16n

)＜

5

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．