Question

【題目】在平面四邊形ACBD（圖①）中，△ABC與△ABD均為直角三角形且有公共斜邊AB，設(shè)AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，將△ABC沿AB折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐C′﹣ABC，且使 ．
（Ⅰ）求證：平面C′AB⊥平面DAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣C′D﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連C′O，DO，
在RT△ACB，RT△ADB，AB=2，則C′O=DO=1，又，∴C′O2+DO2=C′D2 ， 即C′O⊥OD，
又，AB∩OD=O，AB，OD平面ABD∴C′O⊥平面ABD，
又C′O平面ABC′∴平面C′AB⊥平面DAB
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，AB，OC′所在的直線分別為y，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則 ，
∴
設(shè)平面AC′D的法向量為 ，則 ，即 ，
，
令z1=1，則y1=﹣1， ，∴
設(shè)平面BC′D的法向量為 ，則 ，
即 ， ，
令z2=1，則y2=1， ，∴
∴ ，
二面角A﹣C′D﹣B的余弦值為
【解析】（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連C′O，DO，通過就是證明C′O⊥OD，證明C′O⊥平面ABD，然后證明平面C′AB⊥平面DAB．（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，AB，OC′所在的直線分別為y，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
求出平面AC′D的法向量，平面BC′D的法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角A﹣C′D﹣B的余弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能得出正確答案．