【題目】如圖，已知中， ，點(diǎn)平面，點(diǎn)在平面的同側(cè)，且在平面上的射影分別為，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若是中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由在平面上的射影分別為，可以得出平面，進(jìn)而可以得到，通過計(jì)算可以證明出，利用線面垂直的判定定理可以得到線面垂直，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面；

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示，可以求出平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（Ⅰ）證明：由條件，平面，∴，

由計(jì)算得，，，∴，，

又，∴平面，而平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，則，，，平面的法向量為，

設(shè)平面的法向量，由，

取，，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】武漢又稱江城，是湖北省省會城市，被譽(yù)為中部地區(qū)中心城市，它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，更有著眾多名勝古跡與旅游景點(diǎn)，每年來武漢參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù)，其中黃鶴樓與東湖被稱為兩張名片為合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若不游玩東湖記1分，若繼續(xù)游玩東湖記2分，每位游客選擇是否游覽東湖景點(diǎn)的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.

（1）從游客中隨機(jī)抽取3人，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）（i）若從游客中隨機(jī)抽取人，記總分恰為分的概率為，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；

（ⅱ）在對所有游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的累計(jì)得分恰為分的概率為，探討與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線：，（為參數(shù)），將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)縮短為原來的后得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為。

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)M為拋物線的焦點(diǎn)，求的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：

1

2

3

4

5

6

7

8

112

61

44.5

35

30.5

28

25

24

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.

觀察散點(diǎn)圖，兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對兩個變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與的相關(guān)系數(shù).

參考數(shù)據(jù)（其中）：

183.4

0.34

0.115

1.53

360

22385.5

61.4

0.135

（1）用反比例函數(shù)模型求關(guān)于的回歸方程；

（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.01），并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本；

（3）該企業(yè)采取訂單生產(chǎn)模式（根據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn)，即產(chǎn)品全部售出）.根據(jù)市場調(diào)研數(shù)據(jù)，若該產(chǎn)品單價定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，根據(jù)（2）的結(jié)果，企業(yè)要想獲得更高利潤，產(chǎn)品單價應(yīng)選擇100元還是90元，請說明理由.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，，相關(guān)系數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）若恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓上兩點(diǎn)，圓.

（1）若軸，且滿足直線與圓相切，求圓的方程；

（2）若圓的半徑為，點(diǎn)滿足，求直線被圓截得弦長的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線是，拋物線上任意一點(diǎn)到軸的距離比到準(zhǔn)線的距離少2.

（1）寫出焦點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程；

（2）已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)（均與不重合），直線分別交于點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）判斷曲線在點(diǎn)處的切線與曲線的公共點(diǎn)個數(shù)；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若面與面所成二面角的大小為，求與面所成角的正弦值．

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