Question

14．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，f（x）=me^x，g（x）=x+3，φ（x）=f（x）+g（x），h（x）=f（x）-g（x-2）-2017．
（1）設(shè)m=1，求h（x）的極值；
（2）設(shè)m＜-e²，求證：函數(shù)φ（x）沒有零點(diǎn)；
（3）若m≠0，x＞0，設(shè)$F（x）=\frac{m}{f（x）}+\frac{4x+4}{g（x）-1}$，求證：F（x）＞3．

Answer 1

分析 （1）設(shè)m=1，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求h（x）的極值；
（2）設(shè)m＜-e²，證明當(dāng)$x=ln（-\frac{1}{m}）$時(shí)，函數(shù)φ（x）取得最大值，最大值為$ϕ[ln（-\frac{1}{m}）]=2-ln（-m）$，即可證明：函數(shù)φ（x）沒有零點(diǎn)；
（3）x＞0，F(xiàn)（x）＞3化為（x-2）e^x+x+2＞0，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：∵f（x）=me^x，g（x）=x+3，m=1，
∴f（x）=e^x，g（x-2）=x+1，
∴h（x）=f（x）-g（x-2）-2017=e^x-x-2018．
∴h'（x）=e^x-1，由h'（x）=0得x=0．
∵e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，∴h'（x）=e^x-1是增函數(shù)．
∴當(dāng)x＜0時(shí)，h'（x）＜0，即h（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＞0，即h（x）是增函數(shù)．
∴函數(shù)h（x）沒有極大值，只有極小值，且當(dāng)x=0時(shí)，h（x）取得極小值．
∴h（x）的極小值為h（0）=-2017．
（2）證明：∵f（x）=me^x，g（x）=x+3，
∴φ（x）=f（x）+g（x）=m•e^x+x+3，∴φ'（x）=m•e^x+1．
∵m＜-e²＜0，∴φ'（x）=m•e^x+1是減函數(shù)．
由φ'（x）=m•e^x+1=0解得$x=ln（-\frac{1}{m}）$．
當(dāng)$x∈（-∞，ln（-\frac{1}{m}））$時(shí)，φ'（x）=m•e^x+1＞0，此時(shí)函數(shù)φ（x）是增函數(shù)，
當(dāng)$x∈（ln（-\frac{1}{m}），+∞）$時(shí)，φ'（x）=m•e^x+1＜0，此時(shí)函數(shù)φ（x）是減函數(shù)，
∴當(dāng)$x=ln（-\frac{1}{m}）$時(shí)，函數(shù)φ（x）取得最大值，最大值為$ϕ[ln（-\frac{1}{m}）]=2-ln（-m）$．
∵m＜-e²，∴2-ln（-m）＜0，∴φ（x）＜0，
∴當(dāng)m＜-e²時(shí)，函數(shù)φ（x）沒有零點(diǎn)．
（3）證明：∵f（x）=me^x，g（x）=x+3，$F（x）=\frac{m}{f（x）}+\frac{4x+4}{g（x）-1}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x+4}{x+2}$．
∵x＞0，∴F（x）＞3化為（x-2）e^x+x+2＞0．
設(shè)u（x）=（x-2）e^x+x+2，則u′（x））=（x-1）e^x+1．
設(shè)v（x）=（x-1）e^x+1，則v′（x）=xe^x．
∵x＞0，∴v'（x）＞0．
又∵當(dāng)x=0時(shí)，v'（x）=0，∴函數(shù)v（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
∵x＞0，∴v（x）＞v（0），即v（x）＞0．
又∵x=0，v（x）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，u'（x）＞0；當(dāng)x=0時(shí)，u'（x）=0，
∴函數(shù)u（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，u（x）＞u（0），即$（x-2）{e^{_x}}+x+2＞0$．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）＞3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．