Question

(本小題滿分11分)對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足：

①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；

②當(dāng)定義域是時(shí)，的值域也是．

則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

（1）證明：是函數(shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”．

（2）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）已知函數(shù)（）有“和諧區(qū)間”，當(dāng)變化時(shí)，求出的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）區(qū)間是的一個(gè)“和諧區(qū)間”．

（2）函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（3）當(dāng)時(shí)，取最大值.

【解析】本試題主要是結(jié)合了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的定義域和值域的有關(guān)系概念，對(duì)于新定義“和諧區(qū)間”的理解和靈活的運(yùn)用。

（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，并且滿足第二點(diǎn)又，，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414131004479883/SYS201208241413420563116482_DA.files/image001.png">，故得到結(jié)論。

（2）假設(shè)存在一個(gè)區(qū)間滿足題意，利用反比列函數(shù)的性質(zhì)可知，沒(méi)有和諧區(qū)間。

（3）根據(jù)已知條件可知，函數(shù)存在和諧區(qū)間，那么可以設(shè)出區(qū)間，再分析函數(shù)的單調(diào)性，得到定義域和值域的關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)論。

解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增．

又，，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414131004479883/SYS201208241413420563116482_DA.files/image001.png">，

區(qū)間是的一個(gè)“和諧區(qū)間”．…………2分

（2）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．，或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故、是方程的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．

無(wú)實(shí)數(shù)根，函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．………………5分

（3）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．，或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

故、是方程，即的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．

，，同號(hào)，只須，即或時(shí)，已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”，，

當(dāng)時(shí)，取最大值………………11分