Question

我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理（即確定一個居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)?用水量不超過a的部分按照平價收費(fèi)，超過a的部分按照議價收費(fèi)）．為了較為合理地確定出這個標(biāo)準(zhǔn)，通過抽樣獲得了 100位居民某年的月均用水量（單位：t），制作了頻率分布直方圖，
（Ⅰ）由于某種原因頻率分布直方圖部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，請?jiān)趫D中將其補(bǔ)充完整；
（Ⅱ）用樣本估計(jì)總體，如果希望80%的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)&則月均用水量的最低標(biāo)準(zhǔn)定為多少噸，并說明理由；
（Ⅲ）若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市某大型生活社區(qū)隨機(jī)調(diào)查3位居民的月均用水量（看作有放回的抽樣），其中月均用水量不超過（Ⅱ）中最低標(biāo)準(zhǔn)的人數(shù)為x，求x的分布列和均值．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）1-（0.1+0.2+0.3+0.6+0.3+0.1）×0.5=0.2，

0.2

0.5

=0.4得出頻率分布直方圖；
（Ⅱ）月均用水量的最低標(biāo)準(zhǔn)定為2.5噸．樣本中月均用水量不低于2.5噸的居民有20位，占樣本總體的20%，用樣本估計(jì)總體，要保證80%的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)，月均用水量的最低標(biāo)準(zhǔn)定為2.5噸．
（Ⅲ）以題意可知，月均用水量不超過（Ⅱ）中最低標(biāo)準(zhǔn)的概率為

4

5

，X～B（3，

4

5

），列出分布列，利用二項(xiàng)分布的期望公式求出期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵1-（0.1+0.2+0.3+0.6+0.3+0.1）×0.5=0.2，

0.2

0.5

=0.4，
∴頻率分布直方圖
…（3分）
（Ⅱ）月均用水量的最低標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為2.5噸．樣本中月均用水量不低于2.5噸的居民有20位，占樣本總體的20%，由樣本估計(jì)總體，要保證80%的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)，月均用水量的最低標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為2.5噸．…（6分）
（Ⅲ）依題意可知，居民月均用水量不超過（Ⅱ）中最低標(biāo)準(zhǔn)的概率是

4

5

，則X～B（3，

4

5

），
P（X=0）=(

1

5

)3=

1

125

，P（X=1）=

C

1 3

•

4

5

•(

1

5

)2=

12

125

，P（X=2）=

C

2 3

•(

4

5

)2•

1

5

=

48

125

，P（X=3）=(

4

5

)3=

64

125

，…（8分）
分布列為

X	0	1	2	3
P	1 125	12 125	48 125	64 125

…（10分）
E（X）=3×

4

5

=

12

5

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查隨機(jī)變量的分布列及期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力．用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個基本思想方法．頻率分布直方圖中小長方形的面積=頻率，各個矩形面積之和等于1，