Question

容器A內(nèi)裝有6升質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水溶液，容器B內(nèi)裝有4升質(zhì)量分?jǐn)?shù)為5%的鹽水溶液，先將A內(nèi)的鹽水倒1升進(jìn)入B內(nèi)，再將B內(nèi)的鹽水倒1升進(jìn)入A內(nèi)，稱為一次操作；這樣反復(fù)操作n次，A、B容器內(nèi)的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為a_n，b_n，
（ I）問至少操作多少次，A、B兩容器內(nèi)的鹽水濃度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）
（Ⅱ）求a_n、b_n的表達(dá)式，并求

lim

n→∞

an與

lim

n→∞

bn的值．

Answer 1

分析：（ I）先根據(jù)條件求出b1=

1

5

(

1

5

+4×

1

20

)=

2

25

，a1=

1

6

(

2

25

+5×

1

5

)=

9

50

以及bn+1=

an+4bn

5

，an+1=

1

6

(5an+bn+1)=

26an+4bn

30

；進(jìn)而得到兩種容器內(nèi)的鹽水濃度的差b_n-a_n的規(guī)律，再結(jié)合鹽水濃度之差小于1%，借助于對數(shù)的性質(zhì)解不等式即可求出答案．
（Ⅱ）先根據(jù)bn+1=

1

5

[bn+

1

10

×(

2

3

)n-1+4bn]得到bn+1-bn=

3

100

×(

2

3

)n進(jìn)而求出b_n的通項(xiàng)以及a_n的表達(dá)式，進(jìn)而得到

lim

n→∞

an與

lim

n→∞

bn的值．

解答：解：（ I）∵b1=

1

5

(

1

5

+4×

1

20

)=

2

25

，a1=

1

6

(

2

25

+5×

1

5

)=

9

50

；
bn+1=

an+4bn

5

，an+1=

1

6

(5an+bn+1)=

26an+4bn

30

；
∴an+1-bn+1=

2

3

(an-bn)，
∴{an-bn}是q=

2

3

的等比數(shù)列，
∴an-bn=

1

10

×(

2

3

)n-1＜

1

100

，
∴n-1＞log

2

3

1

10

=

1

lg3-lg2

≈5.7，
∴n≥7，故至少操作7次；
（Ⅱ）∵bn+1=

1

5

[bn+

1

10

×(

2

3

)n-1+4bn]，
∴bn+1-bn=

3

100

×(

2

3

)n
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=

2

25

+

3

100

×[

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-1]=-

3

100

×(

2

3

)n+

7

50

，
而an=bn+

1

10

×(

2

3

)n-1=

3

50

×(

2

3

)n+

7

50

；
∴

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

bn=

7

50

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．解決本題第一問的關(guān)鍵在于根據(jù)題意找到兩種容器內(nèi)的鹽水濃度的差b_n-a_n的規(guī)律．