Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為

3

2

，A、B為橢圓C的左、右頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程：
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ，連結(jié)AQ并延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線l于點(diǎn)D，N為DB的中點(diǎn)．
（i）求證：點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓O上；
（ii）求證：OQ⊥NQ．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為

3

2

，可得

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（II）（i）由于點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ，可得H（x₀，0），Q（x₀，2y₀），

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，得到4

y

2 0

=4-

x

2 0

．只要證明

AQ

•

BQ

=0即可；
（ii）由（i）可得直線AQ：y=

2y0

x0+2

(x+2)，令x=2，解得y_D=

8y0

x0+2

，即可得到點(diǎn)D，N．只要證明

OQ

•

NQ

=0．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為

3

2

，∴

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，c=

3

．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）（i）如圖所示，∵點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ，
∴H（x₀，0），Q（x₀，2y₀），

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，得到4

y

2 0

=4-

x

2 0

．
∵A（-2，0），B（2，0）．
∴

AQ

•

BQ

=（x₀+2，2y₀）•（x₀-2，2y₀）=

x

2 0

-4+4

y

2 0

=

x

2 0

-4+4-

x

2 0

=0，
∴AQ⊥BQ．
（ii）由（i）可得直線AQ：y=

2y0

x0+2

(x+2)，令x=2，解得y_D=

8y0

x0+2

，
∴D(2，

8y0

x0+2

)，∴N(2，

4y0

x0+2

)．
∴

OQ

•

NQ

=（x₀，2y₀）•(x0-2，

2x0y0

x0+2

)=x0(x0-2)+

4 y 2 0 x0

x0+2

=

x0( x 2 0 -4)+x0(4- x 2 0 )

x0+2

=0，
∴OQ⊥NQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中檔坐標(biāo)公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．