Question

18．設函數f（x）=e^x（x³-3x+2-c）+x（x≥-2），若不等式f（x）≥0恒成立，則實數c的最大值是-2e²．

Answer 1

分析 問題轉化為c≤x³-3x+2+$\frac{x}{{e}^{x}}$，（x≥-2），令h（x）=x³-3x+2+$\frac{x}{{e}^{x}}$，（x≥-2），求出h（x）的最小值，從而求出c的最大值即可．

解答 解：∵函數f（x）=e^x（x³-3x+2-c）+x（x≥-2），若不等式f（x）≥0恒成立，
則c≤x³-3x+2+$\frac{x}{{e}^{x}}$，（x≥-2），
令h（x）=x³-3x+2+$\frac{x}{{e}^{x}}$，（x≥-2），
h′（x）=（x-1）[3（x+1）-e^-x]，
令h′（x）＞0，解得：x＞1或x＜x₀，（-1＜x₀＜0），
令h′（x）＜0，解得：x₀＜x＜1，
∴h（x）在[-2，x₀）遞增，在（x₀，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴h（x）的最小值是h（-2）或h（1），
而h（-2）=-2e²＜h（1）=$\frac{1}{e}$，
∴c≤-2e²，c的最大值是-2e²；
故答案為：-2e²．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，函數恒成立問題，是一道中檔題．