Question

設正數(shù)列的前項和為，且．

(1)求數(shù)列的首項；

(2)求數(shù)列的通項公式；

(3)設，是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)．

 

Answer 1

(1) ；(2) ；(3) .

【解析】

試題分析：(1) ,所以在中, ,令,可得關于的方程,解之可得.

(2) 在中, 用代替,得：

于是有方程組，兩式分別平方再相減可得，即：

由此探究數(shù)列的特點，從而求其通項公式；

（3）根據(jù)數(shù)列數(shù)列的通項公式特點，有

故可用拆項法化簡數(shù)列的前項和，并由的范圍求出的值.

試題解析：(1)當時，由且，解得 2分

(2)由，得 ①

∴ ②

②-①得：

化簡，得 4分

又由，得

∴，即 5分

∴數(shù)列是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列 6分

∴，即 8分

(3) 10分

∴

12分

∴要使對所有都成立，只需，即

∴滿足條件的最小正整數(shù)． 14分

考點：1、數(shù)列通項與的關系；2、拆項求和.