Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，焦距為，拋物線： 的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).

（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）上不同于的兩點(diǎn)， 滿足，且直線與相切，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）..（2）.

【解析】試題分析：⑴設(shè)橢圓的焦距為，依題意求出， ，由此求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；又拋物線： 開口向上，故是橢圓的上頂點(diǎn)，由此能求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)直線的方程為，設(shè)， ，則能得到， ，聯(lián)立

，得 ，；由此利用根的判別式，韋達(dá)定理，弦長公式，結(jié)合已知條件能求出的面積

解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為，依題意有，

解得， ，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

又拋物線： 開口向上，故是橢圓的上頂點(diǎn)，

，，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）顯然，直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為，設(shè)， ，則， ，

，

即

聯(lián)立，消去整理得， .

依題意， ，是方程的兩根， ，

， ，

將和代入得，

解得，（ 不合題意，應(yīng)舍去）

聯(lián)立，消去整理得， ，

令，解得.

經(jīng)檢驗(yàn)， ， 符合要求.

此時(shí)， ，

.