Question

已知函數(shù)f（x）=2x²+3（a²+a）lnx-8ax．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=32x-62平行，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其導函數(shù)f′（x）的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）對函數(shù)f（x）=2x²+3（a²+a）lnx-8ax求導．因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=32x-62平行，則切線的斜率k=32．由此能求出實數(shù)a；
（Ⅱ）求導函數(shù)f′（x）=

4x2-8ax+3(a2+a)

x

（x＞0），構(gòu)造新函數(shù)g（x）=4x²-8ax+3（a²+a），設g（x）=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂），分類討論，通過比較根的關(guān)系，根據(jù)f（x）在f′（x）的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的，即可確定實數(shù)a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）=2x²+3（a²+a）lnx-8ax，則f′（x）=4x+3（a²+a）•

1

x

-8a．
因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=32x-62平行，
則切線的斜率k=32，即3a²-5a-28=0，解得或a=-

7

3

．
而當a=-

7

3

時，切線與y=32x-62平行，符合題意
當a=4時，切線為y=32x-62重合，不合條件，舍去
故a=-

7

3

．                    
（Ⅱ）f′（x）=4x+3（a²+a）•

1

x

-8a=

4x2-8ax+3(a2+a)

x

，
設g（x）=4x²-8ax+3（a²+a），△=16（a²-3a），
設g（x）=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂）
（1）當△≤0即0≤a≤3時，f′（x）≥0，∴f（x）單調(diào)遞增，滿足題意；
（2）當△＞0即a＜0或a＞3時，
①若x₁＜0＜x₂，則

3

4

（a²+a）＜0，即-1＜a＜0，
此時，f（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，
而f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故不滿足題意              
②若x₁＜x₂≤0，則

2a＜0 3 4 (a2+a)≥0

 解得a≤-1，
此時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，滿足題意         
③若0＜x₁＜x₂，則

2a＞0 3 4 (a2+a)＞0

  解得a＞0，
此時，f（x）在（0，x₁ ）上單調(diào)遞增，（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，故不滿足題意          
綜上得a的取值范圍為（-∞，-1]∪[0，3]．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類是關(guān)鍵．