Question

已知各項為正數的等比數列{a_n}（n∈N^*）的公比為q（q≠1），有如下真命題：若

n1+n2

2

=p，則(an1•an2)

1

2

=ap（其中n₁、n₂、p為正整數）．
（1）若

n1+n2

2

=p+

1

2

，試探究(an1•an2)

1

2

與a_p、q之間有何等量關系，并給予證明；
（2）對（1）中探究得出的結論進行推廣，寫出一個真命題，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據若

n1+n2

2

=p+

1

2

可知n₁+n₂=2p+1，再根據a_n的通項公式代入(an1•an2)

1

2

中，進而可得(an1•an2)

1

2

=apq

1

2

，答案可得．
（2）若an1，an2，，anm是公比為q的等比數列{a_n}的任意m項，
假設

n1+n2++nm

m

=p+

r

m

(m、p∈N*，r∈N，0≤r＜m)時，再由（1）中結論可推斷可得一真命題；
假設

n1+n2++nm

m

=p+

t

s

(m、p∈N*，s、t互素）時，同樣可得一真命題．

解答：解：（1）因為

n1+n2

2

=p+

1

2

，所以n₁+n₂=2p+1，又a_n=a₁q^n-1(an1•an2)

1

2

=(

a

2 1

•qn1+n2-2)

1

2

=(

a

2 1

•q(2p-2)+1)

1

2

=(

a

1

•qp-1)q

1

2

=apq

1

2

即(an1•an2)

1

2

=apq

1

2

（2）若an1，an2，，anm是公比為q的等比數列{a_n}的任意m項，則存在以下真命題：
①若

n1+n2++nm

m

=p+

r

m

(m、p∈N*，r∈N，0≤r＜m)，則有(an1•an2••an3)

1

m

=apq

r

m

成立．
②若

n1+n2++nm

m

=p+

t

s

(m、p∈N*，s、t互素），則有(an1•an2••an3)

1

m

=apq

t

s

成立．

點評：本題主要考查了等比數列的性質．考查學生根據已知結論分析問題和解決問題的能力．