【題目】如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點.

（1）證明:∥平面.

（2）設二面角為，，，求三棱錐的體積.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)連結交于點，連結. 根據(jù)四邊形為矩形，所以為的中點，為的中點，利用三角形的中位線可得∥，再利用線面平行的判定定理證明.

(2) 根據(jù)平面，四邊形為矩形，建立空間直角坐標系.設，再求得平面DAE， 平面CAE的法向量，根據(jù)二面角為，利用，解得.，然后利用錐體體積公式求解.

(1)連結交于點，連結.

因為四邊形為矩形，所以為的中點，

又為的中點，所以∥，

且平面，平面，所以∥平面.

(2) 因為平面，四邊形為矩形，所以兩兩垂直，

以為坐標原點，的方向為軸的正方向，的方向為軸的正方向，的方向為軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標系.

設，則，

所以，

設為平面的法向量，則，

可取 ，

又為平面的一個法向量，由題設知

即，解得.

因為為的中點，設為的中點，

則∥，且，⊥面，

故有三棱錐的高為，

三棱錐的體積

所以三棱錐的體積為.

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分組

頻數(shù)

5

10

20

15

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A.B.C.D.

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