Question

【題目】設(shè)函數(shù) (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.

（1）證明：當(dāng)時(shí)， 沒(méi)有零點(diǎn)；

（2）若當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由，令， ，把沒(méi)有零點(diǎn)，可以看作函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn)，求得直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，即可得到結(jié)論.

（2）由題意，分離參數(shù)得，設(shè)出新函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最小值，即可求解的取值范圍.

試題解析:

（1）解法一：∵，∴.

令,解得；令，解得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴.

當(dāng)時(shí)， ，

∴的圖象恒在軸上方，∴沒(méi)有零點(diǎn).

解法二：由得，令， ，

則沒(méi)有零點(diǎn)，可以看作函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn)，

設(shè)直線切于點(diǎn)，則，解得，

∴，代入得，又，

∴直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，即沒(méi)有零點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)， ，即，

∴，即.

令，則.

當(dāng)時(shí)， 恒成立，

令，解得；令，解得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴.∴的取值范圍是.