Question

3．已知點(diǎn)A是拋物線C：y²=2px（p＞0）與圓D：x²+（y-4）²=a²在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且A到C的焦點(diǎn)F距離是a．若C上一點(diǎn)P到其準(zhǔn)線距離與圓心D距離之和的最小值是2a，則a=（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用拋物線的定義可得A，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且有A為DF的中點(diǎn)，設(shè)出A，D，F(xiàn)的坐標(biāo)，代入拋物線的方程可得p，由拋物線的定義可得a．

解答 解：圓D：x²+（y-4）²=a²的圓心D（0，4），半徑為a，
|AD|+|AF|=2a，
由拋物線M上一動點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)D的距離之和的最小值為2a，
由拋物線的定義可得動點(diǎn)到焦點(diǎn)與到點(diǎn)D的距離之和的最小值為2a，
可得A，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且有A為DF的中點(diǎn)，
由D（0，4），F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0），可得A（$\frac{p}{4}$，2），
代入拋物線的方程可得，4=2p•$\frac{p}{4}$，
解得p=2$\sqrt{2}$，
即有a=$\frac{p}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用拋物線的定義和三點(diǎn)共線和最小，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．