Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，右焦點為（

2

，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于A，B兩點，求證：點O到直線AB的距離為定值；
（3）在（2）的條件下，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c a = 6 3 c= 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB：y=kx+m．由

y=kx+m x2+3y2=3

，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、點到直線AB的距離公式，能證明點O到直線AB的距離為定值

3

2

．
（3）|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(

6km

1+3k2

)2-4×

3m2-3

1+3k2

]≤4，當(dāng)斜率不存在時，|AB|＜2．由此能求出△OAB面積的最大值．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，右焦點為（

2

，0），
∴

c a = 6 3 c= 2 a2=b2+c2

，解得a=

3

，b=1，
∴橢圓C的方程

x2

3

+y2=1…（3分）
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若k存在，則設(shè)直線AB：y=kx+m．
由

y=kx+m x2+3y2=3

，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0…（5分）
△＞0，

x1+x2=- 6km 1+3k2 x1x2= 3m2-3 1+3k2 •

…（6分）
有OA⊥OB，知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（k x₁+m）（k x₂+m）
=（1+k²） x₁x₂+k m（x₁+x₂）+m²=0，…（8分）
代入，得4m²=3k²+3，原點到直線AB的距離d=

|m|

k2+1

=

3

2

．…（9分）
當(dāng)AB的斜率不存在時，|x₁|=|y₁|，
可得|x1|=

3

2

=d，依然成立．
∴點O到直線AB的距離為定值

3

2

…（10分）
說明：直接設(shè)直線OA的斜率為K相應(yīng)給分
（3）|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)[(

6km

1+3k2

)2-4×

3m2-3

1+3k2

]
=

3(9k4+10k2+1)

9k4+6k2+1

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+6+ 1 k2

≤4   …（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

時等號成立．…（13分）
當(dāng)斜率不存在時，經(jīng)檢驗|AB|＜2．
∴S_△OAB≤

1

2

×2×

3

2

=

3

2

綜合得：△OAB面積的最大值為

3

2

．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點到直線的距離為定值的證明，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式和弦長公式的合理運用．