【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C: + =1(a>b>0)的左右焦點分別為F1 , F2 , 離心率為 ,以原點為圓心,以橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+ =0相切,過點F2的直線l與橢圓C相交于M,N兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若 =3 ,求直線l的方程;
(3)求△F1MN面積的最大值.
【答案】
(1)解:由題意可得e= = ,
由直線x﹣y+ =0與圓x2+y2=b2相切,可得
=b=1,
又a2﹣c2=1,
解得a=2,c= ,
即有橢圓的方程為 +y2=1
(2)解:F2( ,0),
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
設(shè)直線l:x=my+ ,代入橢圓方程可得,
(4+m2)y2+2 my﹣1=0,
y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ ,
由 =3 ,可得y1=﹣3y2,
解方程可得m=± ,
即有直線l的方程為x=± y+
(3)解:△F1MN面積為S= 2c|y1﹣y2|=
= = ,
令1+m2=t(t≥1),則S=4 ≤4 =2,
當(dāng)t=3,即m=± 時,S取得最大值,且為2
【解析】(1)運用離心率公式和直線與相切的條件:d=r,結(jié)合a,b,c的關(guān)系,解得a,進而得到橢圓方程;(2)求得右焦點,設(shè)出M(x1 , y1),N(x2 , y2),設(shè)直線l:x=my+ ,代入橢圓方程,運用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示,解方程可得m,進而得到直線的方程;(3)運用弦長公式和換元法,運用三角形的面積公式可得S= 2c|y1﹣y2|,化簡整理運用基本不等式,即可得到最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1處有極值0,則a的值為 ( )
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 3
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【題目】某市有48 000名學(xué)生,一次考試后數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,平均分為80,標(biāo)準(zhǔn)差為10,從理論上講,在80分到90分之間有____人.
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【題目】已知拋物線,直線與E交于A、B兩點,且,其中O為原點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)點C坐標(biāo)為,記直線CA、CB的斜率分別為,證明: 為定值.
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【題目】已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,=Sn+1+Sn.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
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【題目】在銳角△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對邊的邊長,且滿足a-2bsin A=0.
(1)求角B的大;
(2)若a+c=5,且a>c,b=,求·的值.
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【題目】如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.
(1)求二面角F-BE-D的余弦值;
(2)設(shè)點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.
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【題目】已知圓C1:x2+y2=b2與橢圓C2:=1(a>b>0),若在橢圓C2上存在一點P,使得由點P所作的圓C1的兩條切線互相垂直,則橢圓C2的離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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