Question

（2010•浙江模擬）已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PC長(zhǎng)為2，且PC⊥底面ABCD，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）不論點(diǎn)E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求點(diǎn)C到平面PDB的距離；
（Ⅲ）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（I）連接AC，由正方形對(duì)角線互相垂直，則已知中PC⊥面ABCD，我們易得BD⊥AE，BD⊥AC，由線面垂直的判定定理得BD⊥平面PAC，再由線面垂直的性質(zhì)即可得到不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．
（II）點(diǎn)到平面的距離可以根據(jù)等體積法交線計(jì)算，即V_P-BCD=V_C-BPD，在換頂點(diǎn)求體積時(shí)應(yīng)當(dāng)換一個(gè)高與底面積都易求的頂點(diǎn)．
（III）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量再結(jié)合向量的有關(guān)運(yùn)算計(jì)算出二面角的平面角的余弦值，進(jìn)而求出角度．

解答：解：（Ⅰ） 不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE                      …（1分）
證明：連接AC，由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD 且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC．…（3分）
又∵AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC．
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC，
∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．                …（5分）
（Ⅱ）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，
側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（7分）
設(shè)點(diǎn)C到平面PDB的距離為d，
∵V_P-BCD=V_C-BPD，
∴

1

3

S△BCD•PC=

1

3

S△BPD•dPD=PB=

5

，BD=

2

，
∴S△BPD=

3

2

，S△BCD=

1

2

∴d=

2

3

---------------------------（10分）
（Ⅲ）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示：
則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
從而

DE

=(-1，0，1)，

DA

=(0，1，0)，

BA

=(1，0，0)，

BE

=(0，-1，1)
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為

m

=(a，b，c)，

n

=(a′，b′，c′)
由法向量的性質(zhì)可得：-a+c=0，b=0，a'=0，-b'+c'=0
令c=1，c'=-1，則a=1，b'=-1，
∴

m

=(1，0，1)，

n

=(0，-1，-1)
設(shè)二面角D-AE-B的平面角為θ，則 cosθ=

m • n

|m |•| n |

=-

1

2

∴θ=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直、點(diǎn)到平面的距離與二面角的求法，解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而便于得到點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，也可以利用建立空間坐標(biāo)系求解二面角、空間距離或者判定線面的位置關(guān)系．