Question

設{a_n}是等差數列，{b_n}是各項都為正數的等比數列，且滿足：a₁=b₁=1，同時有a₃+b₂=5，a₂+b₃=6
（1）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數列{

an

bn

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差是d，正數的等比數列{b_n}的公比是q＞0，依題意，列出關于二者的方程組，解之即可求得{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）由（1）得

an

bn

=

n

2n-1

，S_n=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，利用錯位相減法求和即可求得S_n．

解答： 解：（1）設等差數列{a_n}的公差是d，正數的等比數列{b_n}的公比是q＞0，則

1+2d+q=5 1+d+q2=6

，
解得d=1，q=2；
所以，a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n，b_n=b₁•2^n-1=2^n-1；
 （2）由（1）得

an

bn

=

n

2n-1

，
所以，S_n=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①

1

2

S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，②
①-②得：

1

2

S_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，
所以S_n=4-

n+2

2n-1

．

點評：本題考查數列求和，著重考查等差數列與等比數列的通項公式的應用，突出錯位相減法求和的考查，屬于中檔題．