Question

如果（1-2^x）⁹的展開式中第三項(xiàng)等于288，則

lim

n→∞

（

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

）等于（　�。�

• A、

  1

  5

• B、

  1

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：由（1-2^x）⁹的展開式中第三項(xiàng)等于288求出x，然后利用等比數(shù)列的求和公式求和，則

lim

n→∞

（

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

）可求．

解答： 解：（1-2^x）⁹的展開式中第三項(xiàng)為

C

2 9

(-2x)2=288，解得x=

3

2

．
∴

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

=

1 x (1- 1 xn )

1- 1 x

=

2 3 (1-( 2 3 )n)

1- 2 3

=2(1-(

2

3

)n)．
∴

lim

n→∞

（

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

）=

lim

n→∞

2(1-(

2

3

)n)=2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式定理，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列極限的求法，是中檔題．