如圖,橢圓=1(a>b>0)與過點A(2,0)B(0,1)的直線有且只有一個公共點T,且橢圓的離心率e=
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點,M為線段AF1的中點,求證:∠ATM=∠AF1T.
【答案】分析:(I)過點A、B的直線方程為,因為有惟一解,所以△=a2b2(a2+4b2-4)=0(ab≠0),故a2+4b2-4=0.由題意知,故所求的橢圓方程為
(II)由(I)得,故,從而,由,解得x1=x2=1,所以.由此可推出∠ATM=∠AF1T.
解答:解:(I)過點A、B的直線方程為
,
因為由題意得有惟一解,
有惟一解,
所以△=a2b2(a2+4b2-4)=0(ab≠0),
故a2+4b2-4=0.
又因為,即,
所以a2=4b2
從而得,
故所求的橢圓方程為
(II)由(I)得,
,
從而
,

解得x1=x2=1,
所以
因為
,,
=
因此∠ATM=∠AF1T.
點評:本題主要考查直線與橢圓的位置關系、橢圓的幾何性質,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
練習冊系列答案
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如圖,橢圓=1(a>b>0)與過A(2,0),B(0,1)的直線有且只有一個公共點T,且橢圓的離心率e=
(1)求橢圓方程;
(2)設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點,M為線段AF2的中點,求tan∠ATM.

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如圖,橢圓=1(a>b>0)與過點A(2,0)B(0,1)的直線有且只有一個公共點T,且橢圓的離心率e=
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點,M為線段AF1的中點,求證:∠ATM=∠AF1T.

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(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設F1、F2分別為橢圓的左、右焦點,M為線段AF1的中點,求證:∠ATM=∠AF1T.

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(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程;
(Ⅱ)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明k1•k2=1;
(Ⅲ)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.

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