Question

（本小題滿分14分）已知橢圓的中心為原點，點是它的一個焦點，直線過點與橢圓交于兩點，且當直線垂直于軸時，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在直線，使得在橢圓的右準線上可以找到一點，滿足為正三角形．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設橢圓的方程為：，則．…①1分

當垂直于軸時，兩點坐標分別是和，

，則，即．……②  …3分

由①，②消去，得．

或（舍去）．

當時，．

因此，橢圓的方程為．                …………………………5分

（Ⅱ）設存在滿足條件的直線．

(1)當直線垂直于軸時，由（Ⅰ）的解答可知，焦點到右準線的距離為，此時不滿足．

因此，當直線垂直于軸時不滿足條件．               …………………………7分

（2）當直線不垂直于軸時，設直線的斜率為，則直線的方程為．

由，

設兩點的坐標分別為和，則

，．

 ．    …………………9分

又設的中點為，則．

當為正三角形時，直線的斜率為．

，

．

……

當為正三角形時，，即＝，

解得，．                                  ……………………13分

因此，滿足條件的直線存在，且直線的方程為或．…14分