19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn=$\frac{4}{3}（{{a_n}-1}）$，則$（{{4^{n-2}}+1}）（{\frac{16}{a_n}+1}）$的最小值為4．

分析 利用數(shù)列的和與通項的關(guān)系，得到數(shù)列是等比數(shù)列，然后化簡表達(dá)式，利用基本不等式求解最小值即可．

解答 解：∵${S_n}=\frac{4}{3}（{{a_n}-1}）$，∴${S_{n-1}}=\frac{4}{3}（{{a_{n-1}}-1}）（{n≥2}）$，∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{4}{3}（{{a_n}-{a_{n-1}}}）$，∴an=4an-1，
又${a_1}={S_1}=\frac{4}{3}（{{a_1}-1}）$，∴a1=4，∴{an}是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，∴${a_n}={4^n}$，
∴$（{{4^{n-2}}+1}）（{\frac{16}{a_n}+1}）=（{\frac{4^n}{16}+1}）（{\frac{16}{4^n}+1}）=2+\frac{4^n}{16}+\frac{16}{4^n}≥2+2=4$，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時取“=”．
故答案為：4．

點評 本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，等比數(shù)列的判斷，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．計算：$\frac{1{2}^{0}-{3}^{2}×{6}^{-1}×{2}^{2}}{-{3}^{-2}}$×5-1=9．

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10．設(shè){an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，則“a1q＞0”是“{an}為遞增數(shù)列”的（　　）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

7．設(shè)x，y∈R，向量$\overrightarrow{a}$=（x，2），$\overrightarrow$=（1，y），$\overrightarrow{c}$=（2，-6），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow$∥$\overrightarrow{c}$，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=5$\sqrt{2}$．

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14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an+1=3Sn+2，則a4=（　�。�
A．64B．80C．256D．320

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．若集合M={x∈N|x＜6}，N={x|x2-11x+18＜0}，則M∩N等于（　�。�
A．{3，4，5}B．{x|2＜x＜6}C．{x|3≤x≤5}D．{2，3，4，5}

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11．已知$\overrightarrow a=（m，2），\overrightarrow b=（4，-2）$，且$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，則$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$=4$\sqrt{5}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）三點，向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），試判斷以$\overrightarrow{n}$為方向向量的直線l與平面ABC的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，且a1=8，S3+3a4=S5．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn=log2（an•an+1），cn=$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$，記數(shù)列{bn}與{cn}的前n項和分別為Pn，Qn，求Pn與Qn．

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