Question

函數(shù)y=cos²x+2asinx在區(qū)間[-

π

6

，π]上的最大值為2，則實數(shù)a的值為（　�。�

• A、1或 -

  5

  4

• B、-

  5

  4

• C、

  5

  4

• D、1或

  5

  4

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：因為cos²x=1-sin²x，用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題，按照對稱軸在區(qū)間的左面、在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間的右面三種情況討論．

解答： 解：f（x）=cos²x+2asinx=-sin²x+2asinx+1
令t=sinx，因為x∈[-

π

6

，π]，
所以-

1

2

≤t≤1且y=-t²+2at+1，其對稱軸為t=a，
故a≤-

1

2

時，y=-t²+2at+1在[-

1

2

，1]上是減函數(shù)，最大值為

3

4

-a，由

3

4

-a=2可得a=-

5

4

；
-

1

2

＜a≤1時，y=-t²+2at+1最大值為a²+1，由a²+1=2，可得a=1；
a＞1時，y=-t²+2at+1在[-

1

2

，1]上是增函數(shù)，最大值為2a，由2a=2，可得a=1，舍去．
綜上，a=-

5

4

或1．
故選A．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題，分類討論思想和換元轉(zhuǎn)換思想．