Question

已知函數(shù), ,,、.

(Ⅰ)若，判斷的奇偶性；

(Ⅱ) 若，是偶函數(shù)，求;

（Ⅲ）是否存在、，使得是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)？若存在，試確定與的關系式；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）是非奇非偶函數(shù).（Ⅱ）；（Ⅲ）存在、滿足時，是奇函數(shù)但不是偶函數(shù).

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 方法一（定義法）：

.             2分

所以是非奇非偶函數(shù).           3分

方法二（特殊值法）：由知不是奇函數(shù).     1分

又由，知不是偶函數(shù).     2分

所以是非奇非偶函數(shù).    3分

(Ⅱ) 方法一（定義法）：，

偶函數(shù)，， 

 ，     5分

 ， .             6分                                

方法二（特殊值法）：為偶函數(shù)

所以

所以   5分

 ，，經(jīng)驗證滿足題意.    6分

（Ⅲ）方法一:假設存在、，使得是奇函數(shù).

由得，，所以.

由知，.

又，故或，

即或.  8分

當時，=+

=+=-=0，

此時既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).不合題意，舍去.    9分

當時，=+

=+=-=

此時是奇函數(shù)但不是偶函數(shù).

綜上，存在、滿足時，是奇函數(shù)但不是偶函數(shù).    10分

方法二:假設存在、，使得是奇函數(shù).

由得，

化簡整理得，,從而.下同方法一.

考點：三角函數(shù)的奇偶性；二倍角公式；三角函數(shù)的綜合應用。

點評：(1)此題主要考查三角函數(shù)的奇偶性。判斷一個函數(shù)奇偶性的步驟：一求函數(shù)的定義域，看定義域是否關于原點對稱；二判斷。有時，若的關系不好判斷時，可以根據(jù)定義域進行化簡。(2) 若函數(shù)為偶函數(shù)，則；若函數(shù)為奇函數(shù)，則。