已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” .
(Ⅰ)證明:只要,無論取何值,函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
(Ⅱ)在同一函數(shù)圖像上任意取不同兩點A(),B(),線段AB中點為C(),記直線AB的斜率為k.
(1)對于二次函數(shù),求證;
(2)對于“偽二次函數(shù)” ,是否有(1)同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論。
(Ⅰ)恒成立,當時,(Ⅱ)恒成立,∵,由二次函數(shù)的性質(zhì),(Ⅱ)不可能恒成立,則函數(shù)不可能總為增函數(shù).
(Ⅱ);
(2)“偽二次函數(shù)” 不具有(1)的性質(zhì).
解析試題分析:(Ⅰ)定義域為,如果為增函數(shù),則(Ⅰ)恒成立,當時,(Ⅱ)恒成立,∵,由二次函數(shù)的性質(zhì),(Ⅱ)不可能恒成立,則函數(shù)不可能總為增函數(shù). 4分
(Ⅱ)(1).
由 ∴,則 8分
(2)不妨設(shè),對于“偽二次函數(shù)”:
(Ⅲ)
由(1)中(Ⅰ)(Ⅳ)
的性質(zhì),則,比較(Ⅲ)(Ⅳ)兩式得 ,
即(Ⅴ) 令 (Ⅵ)
設(shè),則
∴在(1, )上遞增, ∴
∴(Ⅵ)式不可能成立, (Ⅴ)式不可能成立,
∴“偽二次函數(shù)” 不具有(1)的性質(zhì). 13分
考點:本題主要考查應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式恒成立問題,不等式的解法。
點評:難題,本題屬于導數(shù)應用中的基本問題,通過研究函數(shù)的單調(diào)性,明確了極值情況。(I)中要對a的不同取值情況加以討論,在解不等式取舍過程中易于出錯。涉及不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的最值,通過構(gòu)建a的不等式組,求得a的范圍。理解“偽函數(shù)的概念”的解題的關(guān)鍵之一。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行,求的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè),若對任意,均存在,使得,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中為實數(shù).
(Ⅰ) 若在處取得的極值為,求的值;
(Ⅱ)若在區(qū)間上為減函數(shù),且,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中.
(1)若對一切恒成立,求的取值范圍;
(2)在函數(shù)的圖像上取定兩點,記直線 的斜率為,證明:存在,使成立.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),,.
(1)若在存在極值,求的取值范圍;
(2)若,問是否存在與曲線和都相切的直線?若存在,判斷有幾條?并求出公切線方程,若不存在,說明理由。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中
(1)若曲線在點處的切線方程為,求函數(shù)的解析式;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當時,求曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積;
(Ⅱ)若函數(shù)存在一個極大值和一個極小值,且極大值與極小值的積為,求的
值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com