Question

18．若函數(shù)f（x）=e^x-x+a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（∞，-1）．

Answer 1

分析 方法一：可求導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-1，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)便可求出函數(shù)f（x）的最小值及函數(shù)f（x）的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)便可得出關(guān)于a的不等式，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
方法二：分別畫出直線y=e^x，與y=x-a的圖象，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線方程，即可判斷a的范圍．

解答 解：方法一：f′（x）=e^x-1；
∴x＜0時(shí)，f′（x）＜0，x＞0時(shí)，f′（x）＞0；
∴x=0時(shí)，f（x）取最小值1+a，
f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
又f（x）有有兩個(gè)零點(diǎn)；
∴1+a＜0；
∴a＜-1；
方法二：分別畫出直線y=e^x，與y=x-a的圖象，如圖所示：
∴y′=e^x，
∴y′|_x=0=1，
∴切線方程為y=x+1，
∴-a＞1，
∴a＜-1
故a的取值范圍為（∞，-1），
故答案為：（∞，-1）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷．