Question

如圖，在底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐V-ABC中，E是BC的中點(diǎn)，若△VAE的面積是

1

4

，則側(cè)棱VA與底面所成角的大小為arcsin

3

12

．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析：由題意知VA與底面所成角是∠VAE，由△VAE的面積求出sin∠VAE，再用反三角函數(shù)值表示．

解答：解：在正三棱錐V-ABC中，E是BC的中點(diǎn)；
∴VA與底面所成角是∠VAE；
∵△VAE的面積是

1

4

，∴

1

4

=

1

2

VA•AE•sin∠VAE；
∵正三棱錐V-ABC的底面邊長(zhǎng)為2，∴AE=

3

，∴VAsin∠VAE=

3

6

；
即三棱錐的高為

3

6

，又頂點(diǎn)在底面上的投影是底面的中心，令為O，則AO=

2 3

3

∴VA=

(AO)2+(VO)2

=

( 3 6 )2+( 2 3 3 )2

=

17 12

∴sin∠VAE=

3 6

VA

=

3 6

17 12

=

1

17

=

17

17

，則所求的角為arcsin

17

17

；
故選Arcsin

17

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正三棱錐的高的位置，線面角的定義及三角形的面積公式，此題是基礎(chǔ)題．