Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓:（）上，且點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，又兩點(diǎn)在橢圓上，且，求凸四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可求得的值，將點(diǎn)代入橢圓，根據(jù)橢圓中的關(guān)系式即可求得，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）由可設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立橢圓方程，整理變形根據(jù)兩個(gè)交點(diǎn)可令求得的范圍.設(shè)，由韋達(dá)定理表示出，，由弦長(zhǎng)公式求得，點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求得到的距離，結(jié)合用表示出，令，可化簡(jiǎn)為，再令，利用導(dǎo)函數(shù)求得的單調(diào)性和最值，即可求解.

（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.

設(shè)左焦點(diǎn)（），

則由得，

解得.

又，于是，

解得（舍負(fù)），

進(jìn)而.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)?/span>，可設(shè)直線(xiàn)的方程為（），

聯(lián)立并整理得.

由，解得.

設(shè)，則，.

所以

.

又與之間的距離即到的距離，且.

所以四邊形的面積.

設(shè)，由可得，

則，

記之為函數(shù)，則，

易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

故的最大值為，此時(shí)，解得，符合題意，

所以四邊形面積的最大值為.