在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2
2
，∠ACB=90°，M是AA1的中點(diǎn)，N是BC1的中點(diǎn)
（1）求證：MN∥平面A1B1C1；
（2）求點(diǎn)C1到平面BMC的距離；
（3）求二面角B-C1M-A1的平面角的余弦值大小．
（1）證明：如圖所示，取B1C1中點(diǎn)D，連接ND、A1D，則DN∥BB1∥AA1
又DN=
1
2
BB1=
1
2
AA1=A1M，∴四邊形A1MND為平行四邊形．
∴MN∥A1D
又MN?平面A1B1C1，AD1?平面A1B1C1
∴MN∥平面A1B1C1；
（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥平面A1MC1，
在平面ACC1A1中，過C1作C1H⊥CM，又BC⊥C1H，所以C1H為點(diǎn)C1到平面BMC的距離
在等腰三角形CMC1中，C1C=2
2
，CM=C1M=
6

∴C1H=
CC1•AC
CM
=
4
3
3
．
（3）在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于點(diǎn)E，A1C1于點(diǎn)F，則CE為BE在平面ACC1A1上的射影，
∴BE⊥C1M，∴∠BEF為二面角B-C1M-A的平面角，
在等腰三角形CMC1中，CE=C1H=
4
3
3
，
∴tan∠BEC=
BC
CE
=
3
2

∴∠BEC=arctan
3
2
，∴∠BEF=π-arctan
3
2
，
∴cos∠BEF=
2
7
7

即二面角B-C1M-A1的平面角的余弦值為
2
7
7
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長2的正三角形且與底面ABCD垂直，底面ABCD是面積為2
3
的菱形，∠ADC為銳角．
（1）求證：PA⊥CD
（2）求二面角P-AB-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB=AC=
3
，BC=2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的余弦值為（　�。�
A．
3
3
B．
1
3
C．0D．-
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在三棱錐S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=
2
，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是
3
3
，若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，又知BA1⊥AC1．
（1）求證：AC1⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1-BC-A的大小；
（3）求CC1到平面A1AB的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，二面角α-l-β的棱l上有兩點(diǎn)B、C，AB⊥l，CD⊥l，且AB⊆α，CD⊆β，若AB=CD=BC=2，AD=4，則此二面角的大小為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，點(diǎn)P在平面BCC1B1內(nèi)，PB1=PC1=
2
．
（1）求證：PA1⊥BC；
（2）求二面角C1-PA1-A．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在幾何體ABCDE中，AB=AD=BC=DC=2，AE=2
2
，AB⊥AD，且AE⊥平面ABD，平面CBD⊥平面ABD．
（Ⅰ）求證：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角A-EC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖(a)，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，如圖(b)所示，那么，在四面體A－EFH中必有(　　)

A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面

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同步練習(xí)冊答案