Question

函數(shù)（x∈R）．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)．
證明：f（x）==1-，
在定義域中任取兩個實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=；
∵x₁＜x₂，
∴0＜＜，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)．…（10分）
（2）∵f（-x）===-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（13分）
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0即f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），1-m＜m²-1，m²+m-2＞0，m＜-2或m＞1．
∴原不等式的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）．…（16分）
分析：（1）利用單調(diào)性的定義，在定義域中任取兩個實數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）后化簡，判斷即可；
（2）利用（1）中函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，脫去“外衣”，即可求得原不等式的解集．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查轉(zhuǎn)化思想與推理運算的能力，屬于中檔題．