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如圖,已知動圓M過定點F(1,0)且與x軸相切,點F關于圓心M的對稱點為F′,
動點F′的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設A(x,y)是曲線C上的一個定點,過點A任意作兩條傾斜角互補的直線,分別與曲線C相交于另外兩點P、Q.
①證明:直線PQ的斜率為定值;
②記曲線C位于P、Q兩點之間的那一段為l.若點B在l上,且點B到直線PQ的距離最大,求點B的坐標.

【答案】分析:(1)設F′(x,y),則可得M(),圓M的直徑為|FF′|=,利用動圓M與x軸相切,即可求得曲線C的方程;
(2)①確定A(x),設P(x1,),Q(x2,),利用直線AP,AQ的傾斜角互補,可得它們的斜率互為相反數,從而可得直線PQ的斜率;
②由①可知,kPQ=-,則若點B在曲線段L上,且點B到直線PQ的距離最大,曲線C在點B處的切線l∥PQ,設直線的方程,代入拋物線方程,利用判別式,即可求得結論.
解答:(1)解:設F′(x,y),因為點F(1,0)在圓M上,且點F關于圓心M的對稱點為F′,
所以M(),…(1分)
且圓M的直徑為|FF′|=.…(2分)
由題意,動圓M與x軸相切,所以=,兩邊平方整理得:x2=4y,
所以曲線C的方程為x2=4y.             …(5分)
(2)①證明:因為A(x,y)是曲線C:x2=4y上的點,所以y=,∴A(x).
又點P、Q在曲線C:x2=4y上,所以可設P(x1,),Q(x2,),…(6分)
而直線AP,AQ的傾斜角互補,所以它們的斜率互為相反數,
=,整理得x1+x2=-2x.   …(8分)
所以直線PQ的斜率kPQ===-為定值.      …(10分)
②解:由①可知,kPQ=-,則若點B在曲線段L上,且點B到直線PQ的距離最大,
∴曲線C在點B處的切線l∥PQ. …(11分)
設l:y=,代入拋物線方程,消去y,得x2+2xx-4b=0.
令△=(2x2-4×1×(-4b)=0,整理得b=-.…(12分)
代入方程組,解得x=-x,y=
所以,點B的坐標是(-x,). …(14分)
點評:本題考查軌跡方程的求解,考查直線的斜率,考查直線與拋物線的位置關系,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知點F(0,1),直線L:y=-2,及圓C:x2+(y-3)2=1.
(1)若動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1,求動點M的軌跡E的方程;
(2)過點F的直線g交軌跡E于G(x1,y1)、H(x2,y2)兩點,求證:x1x2 為定值;
(3)過軌跡E上一點P作圓C的切線,切點為A、B,要使四邊形PACB的面積S最小,求點P的坐標及S的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•深圳二模)如圖,已知動圓M過定點F(0,1)且與x軸相切,點F關于圓心M的對稱點為F′,動點F′的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設A(x0,y0)是曲線C上的一個定點,過點A任意作兩條傾斜角互補的直線,分別與曲線C相交于另外兩點P、Q.
①證明:直線PQ的斜率為定值;
②記曲線C位于P、Q兩點之間的那一段為l.若點B在l上,且點B到直線PQ的距離最大,求點B的坐標.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,已知動直線l過點 P(4,0),交拋物線y2=2mx(m>0)于A、B兩點,O為PQ的中點.(1)求證:

∠AQP=∠BQP.(2)當m=2時,是否存在垂直于x軸的直線l′被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值?如果存在,求出l′的方程;如果不存在,試說明理由.

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年廣東省深圳市高三下學期第二次調研考試理科數學試卷(解析版) 題型:解答題

如圖6,已知動圓M過定點F(1,0)且與x軸相切,點F 關于圓心M 的對稱點為 F',動點F’的軌跡為C.

(1)求曲線C的方程;

(2)設是曲線C上的一個定點,過點A任意作兩條傾斜角互補的直線,分別與曲線C相交于另外兩點P 、Q.

①證明:直線PQ的斜率為定值;

②記曲線C位于P 、Q兩點之間的那一段為l.若點B在l上,且點B到直線PQ的

距離最大,求點B的坐標.

 

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