Question

【題目】已知 ：
（1）證明f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若存在，請求出a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：對任意x∈R都有3x+1≠0，∴f（x）的定義域是R，

設(shè)x1，x2∈R且x1＜x2，則

∵y=3x在R上是增函數(shù)，且x1＜x2

∴3x1＜3x2且（3x1+1）（3x2+1）＞0f（x1）﹣f（x2）＜0f（x1）＜f（x2）

∴f（x）是R上的增函數(shù)

（2）解：若存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0a=1

下面證明a=1時 是奇函數(shù)

∵

∴f（x）為R上的奇函數(shù)

∴存在實數(shù)a=1，使函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)

【解析】（1）先求函數(shù)的定義域，然后設(shè)x1 ， x2∈R且x1＜x2 ， 通過化簡變形判定f（x1）﹣f（x2）的符號，最后根據(jù)單調(diào)性的定義進行求解；（2）若存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（0）=0求出a的值，然后利用奇函數(shù)的定義證明即可．