Question

(本題滿(mǎn)分14分) 已知F₁、F₂是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)B也在橢圓上，且滿(mǎn)足（是坐標(biāo)原點(diǎn)），,若橢圓的離心率等于.   
(Ⅰ)求直線(xiàn)AB的方程；
(Ⅱ)若三角形ABF₂的面積等于4，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，橢圓上是否存在點(diǎn)M，使得三角形MAB的面積等于8.

Answer 1

(Ⅰ)
(Ⅱ)
（Ⅲ）橢圓上不存在點(diǎn)M使得三角形MAB的面積等于

本試題主要是考查了直線(xiàn)方程的求解，以及橢圓方程的求解和三角形面頰的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知的向量關(guān)系，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，并且向量的垂直關(guān)系可以得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入橢圓方程中可知得到直線(xiàn)的方程。
（2）連結(jié)AF₁、BF₁、AF₂、BF₂，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，參數(shù)a,bc的關(guān)系式，進(jìn)而得到橢圓的方程。
（3）由于由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|
假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)M使得三角形MAB的面積等于8
設(shè)點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離為d,則應(yīng)有
利用三角形的面積公式得到。
解：(Ⅰ)由知，直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，又由知，因?yàn)闄E圓的離心率等于……2分
設(shè)A（），由知
∴A（）,代入橢圓方程得   ∴A（），故直線(xiàn)AB的斜率
因此直線(xiàn)AB的方程為……………4分
(Ⅱ)連結(jié)AF₁、BF₁、AF₂、BF₂，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知
，所以……………6分
又由解得  故橢圓方程為……………8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|=2……………9分
假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)M使得三角形MAB的面積等于8
設(shè)點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離為,則應(yīng)有
∴……………10分
與AB平行且距離為4的直線(xiàn)為
消去x得      ……………13分
此方程無(wú)解故橢圓上不存在點(diǎn)M使得三角形MAB的面積等于……………14分
另解：設(shè)點(diǎn)P（4）為橢圓上任意一點(diǎn)
則P到直線(xiàn)的距離為
……………13分
故橢圓上不存在點(diǎn)M使得三角形MAB的面積等于……………14分