Question

已知點(diǎn)M是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一點(diǎn)，過(guò)M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則k1•k2=-

b2

a2

．類比橢圓的這個(gè)性質(zhì)，設(shè)M是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上的一點(diǎn)，過(guò)M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則k₁•k₂=

b2

a2

．

Answer 1

分析：首先點(diǎn)M半短軸上的頂點(diǎn)，則M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)A和B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），（-a，0），于是可得k1•k2=-

b2

a2

，類比橢圓性質(zhì)類推雙曲線的性質(zhì)，設(shè)點(diǎn)M實(shí)軸上頂點(diǎn)（a，0），則M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)A和B兩點(diǎn)坐標(biāo)為為（x，y），（-x，-y），即可求出即k₁=

y

x+a

，k₂=

y

x-a

，結(jié)合雙曲線方程化簡(jiǎn)即可得到k₁•k₂的值．

解答：解：設(shè)點(diǎn)M半短軸上的頂點(diǎn)，則M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)A和B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），（-a，0），即k₁=

b

a

，k₂=-

b

a

，k1•k2=-

b2

a2

，
類比橢圓性質(zhì)類推雙曲線的性質(zhì)，
設(shè)點(diǎn)M實(shí)軸上頂點(diǎn)（a，0），則M作斜率分別為k₁，k₂的直線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)A和B兩點(diǎn)坐標(biāo)為為（x，y），（-x，-y），
即k₁=x+a，k₂=

y

x-a

，k₁•k₂=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

，
結(jié)合

x2

a2

-

y2

b2

=1化簡(jiǎn)可得k₁•k₂=

b2

a2

，
故答案為

b2

a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了類比推理的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓和雙曲線的性質(zhì)和定義，由橢圓的性質(zhì)類比推出雙曲線的性質(zhì)，此題難度不大．